Matematicas en linea: INTRODUCCION A LA GEOMETRÍA ANALITICA

Examen Geometría analítica

1) a) Halla el punto medio del segmento de extremos P(3, –2) y Q(–1 , 5).
b) Halla el simétrico del punto P(3, –2) con respecto a Q(–1 , 5).
Solución

2) Dadas las rectas:

a) Halla su punto de corte.
b) Halla el ángulo que forman entre ellas.
Solución

3) Halla el valor de k para que las rectas
r: 2x – 3y + 4 = 0
s: –3x + ky – 1 = 0
sean perpendiculares. ¿Cuál es la pendiente de cada recta?
Solución

4) Dado el punto P(3, –4) y la recta r : –3x + y + 2 = 0
a) halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a r y que pasa por P.
b) halla las coordenadas del punto simétrico de P respecto a la recta r.
Solución

5) Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3).
Solución

Examen de la Ecuacion de la Recta

Examen de Geometría Analítica
31 de enero del 2009
1) Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el centro de las
circunferencias
x2 + 4x + y2 2y 4 = 0
y
x2 6x + y2 + 8y + 21 = 0
Solución:
Primero debemos determinar los centros de ambas circunferencias. Para ello
las llevamos a la segunda forma ordinaria completando cuadrados.
Primer circunferencia
C1 : x2 + 4x + y2 2y 4 = 0
x2 + 4x + y2 2y = 4
x2 + 4x + 4 + y2 2y + 1 = 4 + 4 + 1
(x + 2)2 + (y 1)2 = 9
(x + 2)2 + (y 1)2 = 32
Por lo tanto se trata de una circunferencia con
Centro= (2; 1) Radio= 3
Segunda circunferencia
C2 : x2 6x + y2 + 8y + 21 = 0
x2 6x + y2 + 8y = 21
x2 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 21 + 9 + 16
(x 3)2 + (y + 4)2 = 4
(x 3)2 + (y + 4)2 = 22
Por lo tanto se trata de una circunferencia con
Centro= (3;4) Radio= 2
Podemos determinar ahora la ecuación de la línea recta que pasa por los dos
centros de las dos circunferencias, (2; 1) y (3;4), usando la fórmula de una
recta dados dos puntos
y y1 =
y1 y2
x1 x2
(x x1)
obtenemos sustituyendo las coordenadas de los puntos
y 1 =
1 (4)
2 3
(x + 2)
y 1 = (x + 2)
La recta que pasa por el centro de las dos circunferencias es
y =x 1

Examen de la Ecuacion de la circunferencia

1) La ecuación de la línea recta, de la cual el lado recto de una parábola es
un segmento, es y = 2:La longitud de dicho lado recto de la parábola es 8.
La ecuación de la directriz de la parábola es y = 2. La ecuación del eje de la
parábola es x = 1. Encuentra la ecuación de la parábola.
Solución:
Primero podemos determinar el foco de la parábola, encontrando la inter-
sección del lado recto con el eje de la parábola. El lado recto tiene por ecuación
y = 2 y el eje tiene como ecuación x = 1, así que el foco tiene como coorde-
nadas F = (1;2).
La directriz, cuya ecuación es y = 2, intersecta al eje, cuya ecuación es x = 1,
en el punto A = (1; 2).
El vértice de la parábola es el punto medio del segmento formado por el foco
F = (1;2) y por el punto A = (1; 2); es decir, si V = (v1; v2) tenemos
v1 =
1 + 1
2
= 1 v2 = 2 + 2
2
= 0
así que
V = (1; 0) :
La longitud del lado recto es igual a 8 y como a su vez es 4 jpj tenemos que
jpj = 2. EL signo del p esta dado por la dirección del segmento dirigido V F que
es negativo, así que p = 2
Dado que el eje de la parábola es perpendicular a la directriz, que es una
recta horizontal, el eje de la parábola es paralelo al eje Y .
Por tanto, la ecuación de la parábola es de la forma
(x h)2 = 4p (y k)
Sustituyendo los valores que hemos encontrado tenemos
(x 1)2 4 (2) (y 0) = 0
2

Examen de la cuación de la parábola

1Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.